Evariste Galois e la risolubilita' di equazioni polinomiali

Quello che comunemente si attribuisce al lavoro del matematico e', lasciatecelo dire, la ricerca delle soluzioni di un'equazione data. Premesso che crediamo che cio' non sia esatto, pensiamo valga la pena raccontare, in questa nota divulgativa, la storia della risolubilita' per radicali delle equazioni polinomiali. Invece di farci intimidire da parole strampalate partiamo da un esempio pratico. Al lettore piu' giovane non riuscira' dunque difficile chiudere gli occhi e immaginarsi a scuola, dietro il proprio banco, davanti ad un noioso compito di matematica che in una sua parte recita: 

(per comprendere tutte le annotazioni matematiche è possibilie utilizzare la legenda in fondo all'articolo)

Risolvere le seguenti equazioni nell'incognita X:

 1        3X-1=0

 2        2X^2+4X+2=0

 Un momento di riflessione e saremo tutti d'accordo nel concludere che X = 1/3 e' la soluzione della prima equazione. E che altre non ce ne sono. Per quanto riguarda la seconda equazione, la formula quadratica, che il sonno di tanti di noi ha infastidito, ci aiutera' ad affermare che le soluzioni sono due:

 X = -2 + \sqrt {2} e X = -2 – \sqrt{2}

 Piu' in generale, se A, B e C sono numeri interi e A e' diverso da zero,  l'equazione AX^2+BX+C=0 possiede esattamente due soluzioni:

 (-B+-\sqrt{B^2-4AC})/2A

 La formula quadratica fornisce dunque una procedura che, a partire dai coefficienti A, B e C di un polinomio di secondo grado, descrive le soluzioni dell'equazione associata utilizzando una buffa combinazione delle quattro operazioni aritmetiche basilari e dell'estrazione di radice quadrata. E' importante notare che, nonostante i coefficienti A, B e C siano interi, le soluzioni dell'equazione, in generale, non lo saranno. Come si vede bene dal fatto che la loro espressione contiene la radice quadrata di un numero intero.  A questo punto e' piuttosto naturale chiedersi quale sia la formula, se mai una ne esista, che descriva le soluzioni di una equazione di grado tre, quattro, o superiore. Ma procediamo con ordine.

 Un polinomio nella variabile x di grado n e' un'espressione della forma

 a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0

 dove, quando i varia tra 0 e n, gli a_i sono numeri, chiamati i coefficienti del polinomio, x e' una variabile formale ed, inoltre, assumiamo che a_n sia diverso da zero. Esempi di polinomi sono x+1, 2x^2+x+1,x^3-5x+13 e via dicendo. Un numero K e' una soluzione dell'equazione associata al polinomio se, una volta sostituito alla variabile x, il polinomio risulta nullo. Il problema della risolubilita' per radicali di equazioni polinomiali consiste allora nella ricerca di una formula in grado di descrivere tutte le soluzioni di una equazione di questo tipo, generalizzando cosi' la formula quadratica ad equazioni di grado maggiore.

 Nella sua formulazione primitiva “data un'equazione in X, trovarne le soluzioni”, il problema  puo' essere considerato uno dei primi quesiti matematici che la civilta' abbia sfidato (si pensi che gia' i Babilonesi (ca. 2000 AC) conoscevano la soluzione di alcune equazioni di secondo e terzo grado, come diremmo oggi nel linguaggio moderno). Cio' nonostante, solo in epoca moderna si e' arrivati alla sua piena comprensione, completata da un teorema del giovane matematico francese Evariste Galois (1811-1832) che afferma la non esistenza di una formula risolutiva per equazioni di grado cinque o superiore.

 Dai Babilonesi all'epoca di Galois, la teoria delle equazioni polinomiali ha visto, come ci si puo' immaginare, uno sviluppo immenso. Grazie al lavoro di importanti matematici come Gauss, Lagrange, Abel ed altri, teoremi fondamentali erano stati stabiliti e importanti strutture numeriche erano state costruite. Come dicevamo, le soluzioni di una equazione a coefficienti interi (o razionali) non sono, in generale, numeri razionali; bensi' sono quantita' che “vivono” in un ambiente numerico piu' grande di quello nel quale i coefficienti sono definiti, in una estensione dei razionali per usare il linguaggio tecnico, insieme numerico che denotiamo con Q. L'esigenza di capire quali siano le estensioni di Q da considerare e come caratterizzarle e' un punto chiave nell'analisi del nostro problema. Un risultato di fondamentale importanza e' la costruzione di una estensione dei numeri razionali dove ogni equazione polinomiale a coefficienti razionali e di grado n ha esattamente n soluzioni. Tale struttura numerica e' chiamata chiusura algebrica di Q, che denotiamo con Q_ (si legga tale annotazione come se la barra fosse sopra e non di fianco alla lettera). All'inzio del diciannovesimo secolo, dietro l'importanza e la bellezza di questi risultati, il problema di trovare una esplicita formula risolutiva per equazioni di grado superiore al quarto rimaneva irrisolto (l'analogo della formula quadratica nei gradi tre e quattro era gia' conosciuto da tempo). Tra i matematici dell'epoca comincio' a diffondersi l'idea che una tale formula non esistesse proprio. In questo contesto si inserisce il lavoro innovativo del giovane Evariste Galois, il quale, all'eta' di diciotto anni, stabili' un delicato criterio che, in linea di pricipio, riveli se per un dato polinomio questa formula risolutiva esista o meno. Criterio che, nel caso in cui il polinomio abbia grado minore o uguale a quattro, implica automaticamente l'esistenza di tale formula.

Il giovane Evariste era un prodigio matematico. Si narra che a quattordici anni divoro' in una notte un trattato di geometria di Legendre, matematico del periodo, e che, un anno dopo, fosse in grado di comprendere i lavori di Lagrange e Abel, intesi per matematici di professione. Dietro consiglio del suo professore di matematica, nel 1828, fece domanda per entrare all'Ecole Polytecnique ma falli' l'esame di ingresso e dovette accontentarsi di frequentare un istituto minore, l'Ecole Preparatoire. Un anno dopo riprovo' ad entrare nel primo e, ancora una volta, la sua preparazione si rivelo' insufficiente. Pare che Evariste trovasse i problemi di matematica della prova d'ingresso noiosi e che, pertanto, non stimolassero la sua genialita'. Riusci' infine ad essere ammesso all'Ecole Normale, nel dicembre 1929.

 Sono questi gli anni della produzione matematica di Galois. In due lavori, sottomessi all'Accedemia delle Scienze per la pubblicazione, e' contenuta la soluzione dell'annoso problema della risolubilita' di equazioni polinomiali. I preziosi elaborati furuno pero' guidicati da Cauchy, incaricato di referirli, non chiari ed incompleti, e vennero cosi' rifiutati. Galois utilizzava con naturalezza concetti nuovi e, in qualche modo, ancora sperimentali. Ad esempio, e' il primo ad utilizzare la parola gruppo (dal francese groupe), che si riferisce ad una struttura algebrica che, oggi, ha una precisa definizione. Il linguaggio matematico del tempo non era dunque sufficientemente sviluppato per spiegare la dimostrazione di Evariste, questa e' probabilmente la ragione per cui Cauchy trovo' incompresibili gli articoli. Dopo avere visto il suo elaborato rifiutato una seconda volta il giovane Galois, intrappolato tra la chiarezza della sua prova e l'impossibilita' di trasmetterla, comincio' ad allontanarsi dalla matematica. Lasciando cosi' sulle spalle di coloro che non trovarono il tempo di comprendere il suo genio la responsabilita' di una grave perdita scientifica.

 Gli anni successivi, fino alla morte avvenuta in circostanze che non saranno mai chiarite, sono caratterizzati da un forte interesse verso la politica. Repubblicano radicale, Evariste si arruolo' nelle file della Guardia Nazionale, gruppo armato di volontari originarimente formatosi a Parigi nel 1791 e creato al fine di garantire l'ordine pubblico dove la monarchia non vi riuscisse. Una curiosa testimonianza ci arriva dal celebre scrittore Alexandre Dumas che, presente insieme a Galois ad un banchetto celebrativo della Guardia Nazionale, scrive citando il nostro giovane amico. Quando Galois decise di prendere in mano le armi, nel gennaio 1931, la Guardia Nazionale, considerata di orientamento repubblicano, era gia' stata dismessa ufficialmente nel 1827 dall'allora re, Carlo X. Fu cosi' che nella celebrazione della Bastiglia, il 14 luglio del 1831, Galois fu arrestato per avere indossato l'uniforme proibita, e per essere stato trovato in possesso di diverse armi. Rimase in carcere sei mesi dove ebbe un po' di pace per riconsiderare gli scritti matematici.

 La notte del 30 maggio 1832, alla vigilia del fatale duello che gli costo' la vita, Galois, come se sapesse della sorte che lo attendeva, scrisse all'amico Auguste Chevalier una lettera contenente il suo testamento scientifico. Riformulando ancora una volta i passi fondamentali del suo risultato, implorava l'amico di sottoporre il teorema all'attenzione di Gauss e Jacobi. Il lavoro di Evariste fu finalmente pubblicato nel 1843 grazie al matematico Liouville che studio' gli scritti con attenzione, evitando cosi' che le piu' geniali idee dell'epoca scoparissero insieme con lo sfortunato protagonista. Il quale, proababilmente, non avrebbe mai immaginato che il suo nome sarebbe per sempre rimasto scritto nella matematica.

   legenda

 ^ = esponente
_ = indice (sotto la lettera precedente)
\sqrt {…} = radice quadrata di {…}

  Bibliografia:

 Alexandre Dumas, Mes Mémoires,