Dimostrata la Congettura di Poincare`: il caso Perelman
A circa un secolo dalla sua formulazione l'annoso interrogativo posto da Henri Poincarè trova finalmente soluzione. Ma la leggenda che l'avvolge offre ancora una volta un lato singolare.
Lo scorso agosto il re di spagna Juan Carlos conclude il Congresso Internazionale di Matematica (ICM) assegnando l'equivalente del Premio Nobel per la matematica a tre giovani promesse. Ma la notizia che fa scalpore è un'altra: Grigory Perelman, giovane matematico russo, rifiuta la Fileds Medal per aver dimostrato la Congettura di Poincarè.
Apparsa in calce ad un articolo datato 1904 del famoso matematico francese, la congettura di Poincarè ha acquisito nel corso degli anni i connotati di una leggenda a causa della sua apparente semplicità e per aver dato filo da torcere a fior fiore di matematici di tutto il mondo che si sono in vano cimentati nel tentativo di darne una prova durante tutto il XX secolo. Impegnato nello studio di problemi di omologia e prossimo a gettare le basi di quella branca della matematica nota oggi come topologia algebrica, Poincarè congettura che ogni superficie tridimensionale chiusa e semplicemente connessa, cioè senza buchi, possa essere deformata in una 3-sfera. La 3-sfera è un'estensione matematica a tre dimensioni del più famigliare concetto di sfera, una palla, la cui superficie è bidimensionale ed assume la forma più comunemente nota quando immersa in uno spazio tridimensionale.
Benché la congettura possa risultare abbastanza intuitiva in due dimensioni, basti pensare ad una palla da rugby che, se opportunamente stirata e compressa, puo` essere deformata in una palla da calcio, il problema si rivela da subito essere cavilloso e sottile, sopratutto in tre dimensioni. Dimostrazioni della congettura in due, quattro e più in generale N>3 dimensioni sono state presentate nello scorso secolo, ma mai per le tre dimensioni.
La Fields Medal, pensata più come uno stimolo per il lavoro futuro che come coronamento di una carriera, è assegnata ogni quattro anni a giovani matematici sotto i quarant'anni e prevede una cospicua somma di denaro. Ma a Grisha Perelman il denaro non interessa affatto.
La congettura è inoltre oggetto di uno dei sette Millennium Prize da un milione di dollari messi in palio dal Clay Mathematics Institute nel 2000. Le regole di assegnazione del premio prevedono che devono passare almeno due anni dalla pubblicazione del risultato su una rivista riconosciuta prima che il premio venga definitivamente assegnato, periodo in cui il lavoro viene posto al vaglio di numerosi esperti incaricati di accertarne la veridicità.
A cavallo tra il 2002 e il 2003 Perelman, dell'Istituto Steklov, S. Pietroburgo, mette in un archivio on-line tre articoli [1] nei quali afferma di aver risolto la piu` generale Congettura sulla Geometrizzazione, nata dal tentativo di risolvere la Congettura di Poincarè da parte del matematico Thurston, di cui quest'ultima e` un caso particolare. Egli utilizza la strategia del flusso di Ricci, introdotta da Richard Hamilton negli anni ottanta nell'ipotesi che potesse rivelarsi utile per la soluzione della congettura sulla geometrizzazione. Come un'equazione sul calore, che descrive come il calore fluisce da un corpo caldo ad uno freddo, per creare una temperatura uniforme, il flusso di Ricci, smussando irregolarità da' alle superfici una geometria più niforme.
Il contributo di Perelman e` senza dubbio pionieristico e, sebbene le sue idee costituiscano la chiave di volta dell'intera argomentazione, il suo lavoro è frammentario e per certi aspetti incompleto. Molti dettagli non sono spiegati e sono lasciati al lettore e soprattutto il suo lavoro pare voglia lasciare ad altri il compito di essere illustrato e comunicato alla comunità scientifica e piu` in generale al mondo, come se a lui bastasse sapere d'averla risolta.
A prendersi carico di questo oneroso compito ci pensano due matematici cinesi, Huai-Dong Cao della Lehigh University di Bethlehem, in Pennsylvania, e Xi-Ping Zhudella Zhongshan University in Cina, che pubblicano sull' Asian Journal of Mathematics un articolo di 300 pagine [2], il primo completo ed esaustivo sulla prova della congettura di Poincarè. Pur partendo dal fondamentale lavoro di Perelman se ne discostano in parte, a causa di certi aspetti della sua dimostrazione considerati ostici e di difficile comprensione, arrogandosi così parte della paternità della dimostrazione.
I tempi per l'assegnazione del Millennium Prize sono ormai maturi ed e` anche ormai chiaro nella comunità scientifica che il destinatario del premio non può che essere Grigory Perelman, anche se sostanziale ma non cruciale merito va assegnato ad Hamilton, senza la cui teoria del flusso di Ricci il lavoro del russo non sarebbe stato possibile. Ma chi conosce Perelman sa benissimo che lo schivo e solitario matematico russo declinerà anche il Millennium Prize, a tutt'oggi non ancora assegnato.
[1] G.Perelman, math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245
[2] Cao Huai-Dong, Zhu Xi-Ping, Asian J. Math., Vol. 10, No. 2, pp. 165-492, June 2006
